FISICA...THALIA MIRANDA ORELLANA

ARTICULO 1 DE LA UNIDAD 2

PRODUCTO PUNTO

Es útil en aplicaciones físicas. Es también llamado producto interno. El producto interno de dos vectores es una cantidad escalar.

Sean V= <a,b> y W=<c,d>

Definimos producto punto como la operación de un producto entre el vector V y el vector W, cual el resultado de dicho producto es un escalar.

El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que se forma.

$\vec{a} \cdot \vec{b}=\left | \vec{a} \right | \cdot \left | \vec{b} \right |cos \theta$

Si $\vec{a} = <a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}>$ y $\vec{b} = <b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n}>$ , entonces el producto punto de $\vec{a}$ y $\vec{b}$ es el número $\vec{a}\cdot\vec{b}$ dado por:

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+...+a_{n}b_{n}$

NORMA

Para la definición de norma consideraremos el vector $\vec{a}=<a_1,a_2,a_3>$ .

Se sigue del teorema de Pitágoras que la longitud del vector a es $\left \ \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}$ . La longitud del vector a se denota por $\left \| \vec{a} \right \|$ . Es frecuente llamar a esta cantidad la norma de a. Como $\vec{a}\cdot\vec{a}$ $\left \ = {a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}$ se sigue que $\left \| \vec{a} \right \| = (\vec{a}\cdot\vec{a})^{\frac{1}{2}}$ .

TEOREMA

Demostración

$\left| \vec{a} - \vec{b} \right |^2 = \left | \vec{a} \right |^2 + \left | \vec{b} \right |^2 - 2\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right | cos \theta$

$\left| \vec{a}\right |^2 - 2 \vec{a} \vec{b} + \left| \vec{b}\right |^2= \left | \vec{a} \right |^2 + \left | \vec{b} \right |^2 - 2\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right | cos \theta$